Cát tuyến là gì? Hướng dẫn cách vẽ và giải bài tập toán 9
Cát tuyến là phần kiến thức quan trọng mà bạn sẽ học được trong chương trình toán lớp 7 hoặc lớp 9. Vậy cát tuyến là gì? Hãy cùng theo dõi bài viết sau đây, M5s News sẽ giải thích chi tiết cho các bạn kèm theo đó là hướng dẫn giải một số bài tập liên quan nhé!
1. Cát tuyến là gì?
Cát tuyến là một từ mượn tiếng Hán, trong đó “cát” có nghĩa là cắt, “tuyến” có nghĩa là đường thẳng. Như vậy cát tuyến có nghĩa là một đường thẳng cắt một đường khác (đường cong, đường thẳng, đường tròn,...) tại hai hoặc nhiều điểm bất kỳ.
2. Cát tuyến đường tròn là gì?
Theo sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1, cát tuyến đường tròn là một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Cụ thể hơn: Khi đường thẳng a cắt đường tròn tâm (O) tại hai điểm A, B, ta gọi đường thẳng a là cát tuyến của đường tròn tâm (O).
3. Cách vẽ cát tuyến như thế nào?
Cách vẽ cát tuyến cho đường tròn và đường cong
Để vẽ đường cát tuyến cho đường cong hoặc một đường tròn bất kỳ, ta thực hiện theo 2 bước sau:
Bước 1: Xác định 2 điểm bất kỳ trên đường cung hoặc đường tròn đó.
Bước 2: Đặt thước kẻ một đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Đường thẳng vừa kẻ chính là cát tuyến của đường tròn hoặc đường cong.
Cách vẽ cát tuyến cho 2 đường thẳng
Bước 1: Xác định 2 điểm bất kỳ (C; D) thuộc hai đường thẳng a, b
Bước 2: Dùng thước kẻ một đường thẳng d đi qua 2 điểm đó. Như vậy ta đã có cát tuyến cho 2 đường thẳng bất kỳ rồi.
Vừa rồi M5s News vừa chia sẻ đến các bạn những kiến thức cần nắm được như cát tuyến là gì lớp 9, sau đây là phần bài tập vận dụng và cách giải chi tiết.
4. Tính chất về tiếp tuyến và cát tuyến
Trước khi vào phần giải bài tập liên quan đến cát tuyến đường tròn, các bạn cần ghi nhớ những tính chất về tiếp tuyến và cát tuyến là gì, cụ thể như sau:
- Nếu hai đường thẳng AB và CD trên một đường tròn cắt nhau tại điểm M thì MA.MB = MC.MD
Ngược lại, nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và ta có MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn.
- - Nếu MC là đường tiếp tuyến của một đường tròn và MAB là cát tuyến thì ta có MC2 = MA.MB
Kiến thức nhắc lại: Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm.
5. Bài tập về cát tuyến của đường tròn
Bài tập 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ một cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Trong đó A, B là tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh: MA2 = MC.MD.
b) Lấy I là trung điểm đoạn thẳng CD. Chứng minh 4 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
c) Lấy H là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn và AB là đường phân giác góc CHD.
d) Lấy K là giao điểm của các tiếp tuyến tại hai điểm C và D của đường tròn tâm O. Chứng minh A, B, K thẳng hàng
Bài giải
a)
Theo giả thuyết ta có MA là tiếp tuyến đường tròn (O)
=> góc MAC = góc MDA
=> ΔMAC ~ ΔMDA
=> MCMA = MAMD (cạnh tương ứng tỉ lệ)
Nên MA2 = MC.MD
b)
Theo giả thuyết ta có I là trung điểm CD
=> Góc OIM = 900 = góc OAM = góc OBM
=> M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
c)
Ta có MA ⊥ OA; AB ⊥ OM tại H
=> MH. MO = MA2 = MC. MD (chứng minh câu a)
=> MHMC = MOMD => ΔMHC ~ ΔMDO
=> góc MHC = góc MDO
=> Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
=> Góc OHD = góc ODC = góc OCD = góc MHC
=> 900 - góc MHC = 900 - góc OHD
=> góc CHB = góc BHD
Nên HB là phân giác góc CHD
d)
Ta có 2 tiếp tuyến KC, KD của đường tròn (O) cắt nhau tại K
=> KDOC là tứ giác nội tiếp đường tròn
Theo chứng minh câu c ta có HOHC là tứ giác nội tiếp đường tròn
=> 5 điểm O, D, K, C, H cùng thuộc một đường tròn
=> HK là đường phân giác của góc DHC (vì KC = KD)
Suy ra 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài tập 2. Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.
Bài giải
Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.
Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:
Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)
Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) => IA = IB = IC
=> I cách đều đường thẳng a, b và c.
Bài tập 3. Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:
a) KIOD là tứ giác nội tiếp.
b) KO là đường phân giác góc IKD.
Bài giải
a)
Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M
=> MA.MB = MI.MD (1)
Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 900 => OBKA là tứ giác nội tiếp
=> MA.MB = MO.MK (2)
Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK
=> KIOD là một tứ giác nội tiếp
b)
Vì KIOD là tứ giác nội tiếp
Nên góc DKO = góc DIO
góc OKI = góc ODI
Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI
=> góc DKO = góc OKI
Do đó KO là phân giác góc IKD
Bài tập 4. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE. H là giao điểm AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.
Bài giải
Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 900 (tính chất tiếp tuyến)
=> góc B + góc C = 1800
Mà hai góc này đối nhau => OBAC nội tiếp đường tròn
Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)
OB = OC = R
=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)
Ta có AB = AC (cmt)
=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)
Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn BC
hay OA 丄 BC
Ta có ΔOBC cân tại O (OB = OC = R)
Mà OH là đường cao ΔOBC
Nên H là trung điểm BC
Bài tập 5. Từ điểm K ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và một cát tuyến KCD. Lấy H làm trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua điểm H. Chứng minh BF//CD.
Bài giải
Để chứng minh BF//CD ta cần chứng minh góc AHK = góc AFB (hai góc đồng vị nhau)
Ta có góc AFB = ½ góc AOB (góc nội tiếp chắn cung AB)
Mặt khác ta có KO là đường phân giác góc AOB
=> góc AOK = góc BOK = ½ góc AOB
=> góc AFB = góc AOK
Vì 5 điểm A, K, B, O, H cùng nằm trên đường tròn đường kính KO
Nên góc AHK = góc AOK => góc AFK = góc AHK
Nên BF // CD
Một số bài tập thực hành khác:
Bài tập 1. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của CD. Đường thẳng qua H // BD và cắt AB tại T. Chứng minh CI vuông góc với OB.
Bài tập 2. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Vẽ đường kính AI. Các dây IC, ID cắt đoạn thẳng KO theo thứ tự tại G, N. Chứng minh OG=ON.
Bài tập 3. Từ điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm (O), kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường tròn (O).
Chứng minh rằng MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB
Khi cho đoạn thẳng MT = 20cm và MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?
Bài tập 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng góc ADC = góc MDB.
Bài tập 5. Cho đường tròn tâm (O) có dây cung ADI. Gọi I là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và cắt IB ở K. Gọi C là giao điểm thứ hai của đoạn KD với đường tròn tâm (O). Chứng minh rằng BC //AI.
6. Một số lưu ý khi làm bài tập về cát tuyến đường tròn
Để giải bài tập liên quan đến cát tuyến, bạn chỉ cần ghi nhớ một số điều sau đây:
- Nắm rõ khái niệm đường cát tuyến là gì và cách vẽ.
- Áp dụng các tính chất của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp để giải bài tập.
- Biết cách áp dụng tỉ số lượng giác để giải bài tập.
- Thường xuyên giải bài tập liên quan đến cát tuyến đến lúc làm bài thi làm bài nhanh chóng hơn.
- Biết cách phân biệt giữa khái niệm tiếp tuyến và cắt tuyến là gì.
Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các bạn hiểu được cát tuyến là gì cũng như các kiến thức liên quan như cách vẽ và các tính chất của đường tròn. Bên cạnh đó M5s News cũng hướng dẫn cách giải một số bài tập liên quan đến đường cát tuyến. Nếu các bạn còn câu hỏi thắc mắc nào hãy bình luận bên dưới cho chúng mình giải đáp ngay nhé.
