Số nguyên tố là gì? Bài tập về số nguyên tố kèm lời giải

Số nguyên tố là gì là một khái niệm thường gặp trong toán học. Vậy để hiểu xem số nguyên tố là số gì, cũng như các bài toán liên quan và cách vận dụng ra sao? Hãy cùng M5s News tham khảo ngay bài viết dưới đây nhé.

1. Số nguyên tố là gì? Ví dụ

1.1 Số nguyên tố là số gì?

Số nguyên tố (tiếng Anh là prime number) là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Nói một cách dễ hiểu hơn, nếu một số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó thì được gọi là số nguyên tố. Tập hợp các số nguyên tố được ký hiệu là P.

Ví dụ:

+ Số 2 chỉ chia hết cho 2 và 1, hay số 5 chia chia hết cho 5 và 1,... được gọi là số nguyên tố.

+ Số 4 chia hết cho 4, 2, và 1 nên không được xem là số nguyên tố

Tập hợp số nguyên tố là vô hạn, nên thông thường chúng ta sử dụng các công cụ máy tính để liệt kê các số nguyên tố trong một phạm vi nhất định.

Ví dụ minh họa: Một tập hợp các số nguyên tố từ 2 đến 19 có thể được biểu diễn như sau:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Các số nguyên tố trong tập hợp này được đánh số từ 1 đến 8, với số nguyên tố thứ nhất là 2, số nguyên tố thứ hai là 3, và tiếp tục cho đến số nguyên tố thứ tám là 19.

*Những lưu ý về số nguyên tố mà bạn nên biết:

• Điều kiện của số nguyên tố là một số tự nhiên phải lớn hơn 1.
• Số nguyên tố đầu tiên là số 2. Các số nguyên tố tiếp theo là 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,...
• Ngược lại với số nguyên tố được gọi là hợp số, tức là các số tự nhiên khác 1 và không phải số nguyên tố. Hợp số có thể được phân tích thành tích của các số nguyên tố.

>>Xem thêm bài viết liên quan: Số thực là gì? Phương pháp giải các dạng toán về số thực

1.2 Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000

Dưới đây là bảng tổng hợp những số nguyên tố nhỏ hơn 1000, rất dễ nhớ và thuộc trong trường hợp bạn cần tìm những số này, trong đó những phần được bôi màu chính là số nguyên tố:

1.3 Nguồn gốc của số nguyên tố

Người ta phát hiện Cuộn giấy Rhind (năm 1550 TCN) có chứa các khai triển phân số Ai Cập theo nhiều dạng số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, vào khoảng năm 300 TCN, các nhà toán học Hy Lạp mới có các công trình nghiên cứu cụ thể hơn về số nguyên tố.

Các nhà toán học Hy Lạp như Euclid, Eratosthenes và Alhazen đã có những đóng góp quan trọng cho việc khám phá và nghiên cứu tính chất của số nguyên tố. Trong đó, định lý Euclid (đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid) đã có một chứng minh hết sức quan trọng đó là Có vô số số nguyên tố.

2. Tính chất của số nguyên tố

Sau khi đã tìm hiểu khái niệm số nguyên tố là gì hãy cùng M5s tham khảo những tính chất gì đặc biệt của số nguyên tố nhé!

• Tính chất cơ bản đầu tiên đó chính là: Số nguyên tố chỉ có hai ước số dương phân biệt là 1 và chính nó.
• Tiếp đến, số nguyên tố đầu tiên và cũng là số chẵn duy nhất là số 2, các số nguyên tố tiếp theo lớn hơn được tìm thấy bằng cách kiểm tra các số tự nhiên lẻ lớn hơn 2.
• Chúng ta khó và không thể biết được số nguyên tố lớn nhất, bởi nó là vô hạn
• Ngoại trừ số 5, những số khác có đuôi là 5 sẽ không bao giờ tồn tại dưới dạng số nguyên tố. Bởi ta sẽ nhớ đến một khái niệm khác đó chính là các số có tận cùng đuôi 5 đều chia hết cho 5.

Ví dụ: 15, 25, 35,...không phải là số nguyên tố

• Trường hợp tăng hoặc giảm một số lớn hơn 3 thì sẽ có 1 trường hợp chia hết cho 6.

Ví dụ:

7 - 1 = 6 => chia hết cho 6

11 + 1 = 12 => chia hết cho 6 hay 13 - 1 = 12 => chia hết cho 6

• Tích của hai số nguyên tố sẽ không bao giờ trở thành một số chính phương (bình phương của một số nguyên hay căn bậc hai là một số tự nhiên)

Ví dụ: 2 x 3 = 6, tuy nhiên căn bậc 2 của 6 không phải số tự nhiên

• Không có công thức đơn giản nào để tính toán số nguyên tố tiếp theo sau một số nguyên tố đã biết. Bởi có thể thấy không có một quy luật nào cụ thể dành cho số này cả.
• Tất cả các số tự nhiên đều có thể phân tích thành “tích của các số nguyên tố”.

Ví dụ: số 12 có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố là 2 x 2 x 3.

3. Những khái niệm khác liên quan tới số nguyên tố

3.1 Hai số nguyên tố cùng nhau là gì?

Hiểu một cách ngắn gọn thì 2 số nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh là coprime hoặc relatively prime) là 2 số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1.

Ví dụ minh họa: số 7 = 1 x 7 và số 9 = 1 x 3 x 3

ƯCLN(7,9) = 1, ta có thể nói 7 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Một ví dụ khác như: số 3 và 12, ta thấy ƯCLN(3,12) = 3 => 3 và 12 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau

3.2 Thừa số nguyên tố là gì?

Thừa số nguyên tố là các số nguyên tố được phân tích ra từ các số tự nhiên dưới dạng “tích các thừa số nguyên tố”. Có thể hiểu như sau:

Ví dụ minh họa: 12 = 2 x 2 x 3

Ta nói, 2 và 3 là thừa số, cũng là số nguyên tố

Hay ta có: 70 = 2 x 5 x 7

Trong đó 2, 5, và 7 là thừa số nguyên tố

3.3 Số siêu nguyên tố là gì?

Số siêu nguyên tố là một số nguyên tố đặc biệt, trong đó không chỉ các số con của nó (được tạo ra bằng cách lấy một phần tử của các chữ số của nó và xếp lại theo một trật tự khác) là số nguyên tố, mà cả các số được tạo ra từ việc đảo ngược thứ tự của các chữ số của nó cũng là số nguyên tố.

Ví dụ minh họa: số nguyên tố 13 là số siêu nguyên tố vì không chỉ 13 mà khi đảo ngược lại số 31 cũng là số nguyên tố, trong đó cả 3 và 1 cũng là số nguyên tố.

Một số số siêu nguyên tố khác như 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 31, 37, 53, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991,...

Có thể nói, số siêu nguyên tố là một khái niệm khá mới và vẫn đang được nghiên cứu để tìm ra thêm tính chất của chúng.

3.4 Ước số nguyên tố là gì?

Ước số nguyên tố là một ước số của một số nguyên dương và cũng là một số nguyên tố.

Nói cách khác cụ thể hơn thì, nếu một số tự nhiên có một ước số nguyên tố, thì ước số đó sẽ là một số nguyên tố.

Ví dụ minh họa: số 12 có ước số là 2, 3, 4, 6 và 12. Trong số các ước số này, 2 và 3 là hai số nguyên tố, nhưng 4, 6 và 12 không phải là số nguyên tố. Do đó, số 12 không có ước số nguyên tố.

Tuy nhiên, số 15 chỉ có ba ước số là 3, 5, 1 và cả ba đều là số nguyên tố. Vì vậy, số 15 có hai ước số nguyên tố là 3 và 5.

4. Bài tập về số nguyên tố kèm lời giải

Dạng 1: Phân tích thừa số nguyên tố

Với các số tự nhiên lớn hơn 1 được phân tích dưới dạng thừa số nguyên tố thường được gọi là phân tích thừa số nguyên tố.

Cách thực hiện bài tập dạng này như sau:

• Bước 1: Ta tìm ước của một số theo thứ tự từ các số nguyên tố lớn dần. Đầu tiên sẽ xem xét 2 có phải là ước của số a hay không. Bằng cách lấy a chia cho 2. Nếu không thì xem xét đến số 3, 5.
• Bước 2: Chia thương cho số nguyên tố nhỏ nhất, lặp lại quá trình đến khi không thể chia được nữa.
• Bước 3: Sau đó, nhân các thừa số nguyên tố lại với nhau. Lưu ý, chia bao nhiêu lần thì phải lấy đủ số nguyên tố từng đó lần.

Ví dụ minh họa: Phân tích số 140 sang thừa số nguyên tố

- Bước 1: Xem xét xem 140 có chia được cho 2 hay không, ta thấy 140 là số chẵn nên chia hết cho 2.

- Bước 2: Lấy 140 chia cho 2

Ta có:

140 : 2 = 70 (1)

Tiếp tục lấy 70 : 2 = 35 (2)

Lúc này 35 không thể chia hết cho 2 được nữa, xét đến 3 cũng không chia được, nhưng chia được cho 5. Ta có: 35 : 5 = 7 (3)

Lúc này, 7 đã làm một số nguyên tố chỉ chia được cho 7 và 1 (4)

- Bước 3: Nhân các thừa số nguyên tố lại với nhau, ta được:

140 = 2 x 2 x 5 x 7 x 1

Dạng 2: Tìm ước số chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất nằm trong tập hợp các ước chung của các số đó. Được kí hiệu ƯCLN(a,b), hoặc có thể với nhiều số tự nhiên hơn là a,b,c,d,...

Các bước để tìm ước chung lớn nhất được thực hiện như sau:

• Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, các bước thực hiện tương tự dạng 1.
• Bước 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung của các số được phân tích
• Bước 3: Cách số đã chọn ta nhân lại với nhau (lập tích), trong đó mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa: Tìm ước chung lớn nhất của số 80 và 120

- Bước 1: Phân tích số 80 và 120 ra thừa số nguyên tố, ta được:

80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5

- Bước 2: Xét xem thừa số nguyên tố chung của 80 và 120 ta thấy hai số này có thừa số nguyên tố chung là 2 và 5

- Bước 3: số 2 có mũ nhỏ nhất 3, 5 có số mũ nhỏ nhất là 1

Ta có: ƯCLN(80,120) = 23 x 5 = 40

Dạng 3: Tìm bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của các số đó. Kí hiệu được viết tắt là BCNN (a,b).

Các bước để thực hiện như sau:

• Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố như dạng 1 đã trình bày
• Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng của các số được phân tích
• Bước 3: Nhân các số đã chọn lại với nhau (lập tích), lưu ý mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất

Ví dụ minh họa: Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 12 và 20

- Bước 1: Phân tích số 12 và 20 ra thừa số nguyên tố ta được:

12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3

20 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5

- Bước 2: Thừa số chung, riêng của 12 và 20 là 2,3,5

- Bước 3: Lập tích các số với số mũ lớn nhất, 2 có số mũ lớn nhất là 2, 3 và 5 có số mũ lớn nhất là 1

Ta có: BCNN(12,20) = 22 x 3 x 5 = 60

5. Cách tìm số nguyên tố nhanh chóng, đơn giản

Có nhiều phương pháp để tìm số nguyên tố, tuy nhiên không có phương pháp nào là hoàn hảo và nhanh chóng 100% để tìm tất cả các số nguyên tố. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến để tìm số nguyên tố mà bạn có thể tham khảo:

Cách 1: Phương pháp kiểm tra đơn giản

Ta sẽ kiểm tra từng số nguyên dương lẻ lớn hơn 2, kiểm tra xem số đó có phải là số nguyên tố hay không bằng cách chia nó cho tất cả các số nguyên tố từ 2 bao gồm (2,3,5,7) đến căn bậc hai của số đó.

Nếu không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào, số đó là số nguyên tố.

Ví dụ minh họa: Kiểm tra số 24 và 25 xem có phải là số nguyên tố hay không?

Ta thấy 24 chia hết được cho 2 => 24 không phải là số nguyên tố

Hay 25 chia hết được cho 5 và căn bậc 2 của 25 bằng 5 => 25 không phải số nguyên tố.

Cách 2: Sử dụng công thức

*Mỗi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6k ± 1 với k là số tự nhiên.

Ví dụ minh họa: k = 1 => 6 x 1 + 1 = 7 (số nguyên tố)

hay k = 2 => 6 x 2 + 1 = 13 (số nguyên tố)

*Định lý Wilson cho biết rằng một số tự nhiên p (lớn hơn 1) là số nguyên tố, khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p.

Ví dụ minh họa: P = 5 => (5 - 1)! + 1 = 25

25 chia hết cho 5, có thể nói 5 là số nguyên tố

Hay P = 4 => (4 - 1)! + 1 = 7

Ta thấy 7 không chi hết cho 4, nên 4 không phải số nguyên tố

Cách 3: Sử dụng trang web kiểm tra số nguyên tố

Những cách trên khi bạn tham gia một cuộc thi đều có thể áp dụng để tìm, còn trường hợp bạn cần nhanh chóng xác định xem nó có phải là số nguyên tố hay không. Cũng như dùng để tham khảo tại nhà thì có thể sử một số trang web máy tính để tìm như sau:

• Bước 1: Nhấn vào trang web https://kingscalculator.com/vi/may-tinh-toan-hoc/may-tinh-so-nguyen-to
• Bước 2: Nhập con số bạn muốn kiểm tra vào bảng trong giao diện
• Bước 3: Bấm vào “Tính Toán” sẽ cho ra kết quả hiển thị

Cách 4: Kiểm tra số nguyên tố bằng máy tính Casio

Dựa trên nguyên lý và tính chất của số nguyên tố là chỉ chia được cho 1 và chính nó, nếu phân tích ra được thừa số nguyên tố thì nó sẽ là hợp số.

Chúng ta có thể giải trên máy tính casio fx 570 VN Plus, fx 580 VNX, fx 570 ES Plus.

Ví dụ minh họa: Với câu hỏi 79 và 96 có phải số nguyên tố không?

Cách thực hiện với dòng máy fx 570 VN Plus như sau:

Ta thao tác nhập vào màn hình số “79 =” => nhập SHIFT FACT sẽ cho ra kết quả 79 x 1 => 79 là số nguyên tố.

Làm tương tự với số 96 sẽ cho ra kết quả 25 x 3 => 96 KHÔNG phải là số nguyên tố.

Cách 5: Áp dụng Sàng Eratosthenes

Đây là một phương pháp sàng để tìm tất cả các số nguyên tố trong một phạm vi đã cho.

*Lưu ý: Cách này chỉ tính nhanh khi sử dụng lập trình C++, không khuyến khích áp dụng tính thông thường.

Bắt đầu bằng cách đánh số tất cả các số từ 2 đến phạm vi đã cho. Tiếp theo, chọn số đầu tiên trong danh sách và loại bỏ tất cả các bội số của số đó trong danh sách (trừ số đó chính nó).

Tiếp tục quá trình này cho đến khi tất cả các số trong danh sách được xem xét. Các số còn lại trong danh sách là tất cả các số nguyên tố trong phạm vi đã cho.

Ví dụ minh họa: Tìm các số nguyên tố nhỏ hơn 15

Ta sẽ có dãy N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Đầu tiên ta loại bỏ bội số của 2 là 4, 6, 8, 10, 12, 14 => ta còn có N = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

Tiếp tục tìm bội số của 3, ta loại 9 và 15. Lúc này ta còn các số N = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Ta nhận thấy các số trong tập hợp đều là số nguyên tố chỉ chia được cho 1 và chính nó, ta có tập hợp: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

6. Những thông tin thú vị về số nguyên tố

Ứng dụng của số nguyên tố:

Số nguyên tố có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, đặc biệt trong lĩnh vực toán học, khoa học máy tính và mật mã học. Dưới đây là một số ví dụ về ứng dụng của số nguyên tố mà bạn có thể biết:

• Trong mật mã học: Số nguyên tố được sử dụng để tạo ra các khóa mật mã học trong các hệ thống mật mã công khai.

Ví dụ như RSA là một thuật toán mật mã công khai phổ biến được sử dụng trong các ứng dụng truyền thông an toàn như đăng nhập vào trang web hoặc giao dịch tài chính trực tuyến.

• Trong phim ảnh cũng sẽ xuất hiện số nguyên tố.

Ví dụ Một bộ phim mang tên "The Imitation Game" (2014) về nhà toán học và nhà phát minh máy tính người Anh Alan Turing. Nhân vật này đã giúp giải mã mật mã Enigma của Đức trong Thế chiến II bằng cách sử dụng số nguyên tố.

4 sự thật thú vị về số nguyên tố mà bạn có thể chưa biết:

1. “Không có công thức nào để tính chính xác số lượng số nguyên tố nằm trong một khoảng cho trước”. Điều này đã được chứng minh bởi định lý số nguyên tố của người Pháp Adrien-Marie Legendre vào năm 1808.

2. Cuộc tranh cãi về việc liệu có tồn tại vô số số nguyên tố hay không còn là một câu hỏi mở trong toán học. Điều này được biết đến với tên gọi "định lý số nguyên tố kép" (Twin Prime Conjecture) và chưa được chứng minh hoặc bác bỏ.

3. Theo Wikipedia, số nguyên tố lớn nhất được biết đến hiện nay (tính đến tháng 1 năm 2024 ) là một số có 24.862.048 chữ số. Số này được phát hiện bởi một nhóm các nhà nghiên cứu của GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) vào năm 2018.

4. Vòng đời của ve sầu thường có chu kỳ 3, 5, 13 hoặc 17 năm (đây là những số nguyên tố).“Chu kỳ sống nguyên tố” này sẽ giúp ve sầu giảm nguy cơ sống cùng thời gian với kẻ thù của mình như chim, chuột,...

7. Một số câu hỏi thường gặp

7.1 0 và 1 có phải là số nguyên tố không?

Nguyên tố số được định nghĩa là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số dương phân biệt là 1 và chính nó. Vì vậy, 0 và 1 không phải là số nguyên tố vì 0 không phải là số tự nhiên, trong khi số 1 chỉ có một ước là 1.

7.2 9 có phải là số nguyên tố không?

Vì 9 chia hết cho 3 và 9 có căn bậc 2 bằng 3, nên số 9 không được gọi là số nguyên tố.

7.3 Số nguyên tố C++ là gì?

C++ là một phần mềm lập trình, trong đó nguyên tố C++ được hiểu là phần mềm để phân biết và tìm ra số nguyên tố nhanh chóng một cách tiện lợi. Đặc biệt sử dụng trong trường hợp Sàng Eratosthenes rất tốt.

7.4 Hợp số là gì?

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố, có thể phân tích thành tích của hai số tự nhiên khác 1 và chính nó. Ví dụ: số 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,... là các số hợp số.

Trên đây là những thông tin chi tiết về số nguyên tố là gì, các dạng bài tập và những điều thú vị xoay quanh nó. M5s News hy vọng với kiến thức bổ ích này sẽ giúp bạn học tập tốt hơn, cũng như giúp các bậc phụ huynh tổng hợp các dạng toán một cách dễ hiểu để có thể hướng dẫn cho bé hiệu quả nhất nhé!